平成３１年度　数学　入試問題　解説その他

スマホでは文字がずれる可能性があります。

PCで見ていただければと思います。

※誤字などある可能性があります。ご容赦ください。

 

「数学」・・・試験時間５０分で、全部しっかり考えて解ききれるかは、昨年に引き続き？？？です。

　　　　　　　いかに時短計算方法で解法できるかがカギかもしれません。

　　　　　　　[大問６]は、私が初めて見る動点の問題でした。

　　　　　　　全体的にはいずれも良問であると感じました。

　　　　　　※予想平均点は４５～５５点（１００点満点換算で）

　　　　　　

　　　　　　　　⇒　６１．３点　（県立学校課発表）　　　

　　　　　　

　【大問１】　基本問題　　いずれも教科書の基本問題レベルの問題

　　　　　　　　　　　　　ここで時間をかけずにミスなく、解いていくかが大切。

　　　　　　　　　　　　　（９）角の大きさを求める問題

　　　　　　　　　　　　　　・正五角形の１つの内角の大きさ１８０×（５－２）÷５＝１０８

　　　　　　　　　　　　　　・⊿ABC≡⊿AED（３組の辺がそれぞれ等しい）より∠BAC=∠EAD

　　　　　　　　　　　　　　・⊿ABC、⊿AEDともに二等辺三角形（底角が等しい）

　　　　　　　　　　　　　　　を考えて解く

　

　【大問２】　連立方程式・代表値

　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　（１）連立方程式の応用問題（教科書レベル）

 

　　　　　　　　　　　　　％（パーセント）の計算方法を知っていれば、式は簡単。

　　　　　　　　　　　　　あとは計算力のみ。

　

　　　　　　　　　　　　（２）代表値

 

　　　　　　　　　　　　　表から、３パターンの考え方の正誤を問う問題。

　　　　　　　　　　　　　中央値、最頻値、最大値、最小値それぞれについてしっかり理解している

　　　　　　　　　　　　　ことが大前提である問題

 

　　　　　　　　　　　　　ア　は普通の平均を求めればよいので簡単　　○

　　　　　　　　　　　　　イ　は１７人ではなく１８人　よって　×

　　　　　　　　　　　　　ウ　は３組のクラスの人数が３６人、最大値が５、最小値が１より

　　　　　　　　　　　　　　　貸出数は１、２、３、４、５が考えられる。

　　　　　　　　　　　　　　　３６÷５＝７余り１

　　　　　　　　　　　　　　最頻値が２であることから

　　　　　　　　　　　　　　この度数が７であると、他で８になる可能性があり（最頻値にならない）

　　　　　　　　　　　　　　よって冊数２で、考えられる最低人数となる。よって８人以上となり

　　　　　　　　　　　　　　○

　　　

　　　　　　　　　　　　　※ゆっくり考えると難しくはないが、時間をかけれないため焦ると手こずる

 　　　　　　　　　　　　　　問題。→　差が出る問題

 

　【大問３】　放物線　　（１）（２）は標準、（３）は計算力（できれば時短計算で）

　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　（１）　ｙ＝aX²で、Xが　bからｃまで増加するとき

　　　　　　　　　　　　　　　　変化の割合＝a(b+C)の時短計算ができると楽。

　　　　　　　　　　　　　　　　知らない場合は、Xの増加量、Yの増加量を求めて、

　　　　　　　　　　　　　　　　Yの増加量　÷　Xの増加量　に代入して計算。

　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　（２）直線CDを求める。

　　　　　　　　　　　　　　　点C,点Dそれぞれの座標を求め、直線CDの式を求める。

　　　　　　　　　　　　　　　ｙ軸との交点より、直線CDの式に、X＝０を代入。

 

　　　　　　　　　　　　（３）放物線の対称性（ｙ軸についての）より、直線CD,直線ABの切片は

　　　　　　　　　　　　　　　同じ（０,－２）この切片をGとすると、

　　　　　　　　　　　　　　　四角形ABFEをｙ軸について回転した時にできる図形の体積は、

　　　　　　　　　　　　　　　三角形AGEをｙ軸について回転した時にできる図形（円錐）の体積

　　　　　　　　　　　　　　　から三角形BGFをｙ軸について回転した時にできる図形（円錐）の体積

　　　　　　　　　　　　　　　引いたものとなる。それぞれを求めて計算。→　やや差が出る問題

　

　　　　　　　　　　　　　　　別解（時短計算）

　　　　　　　　　　　　　　　点Eのｙ座標が４、点Fのy座標が１、Gのｙ座標が－２より

　　　　　　　　　　　　　　　三角形AGEをｙ軸について回転した時にできる図形（円錐）と

　　　　　　　　　　　　　　　から三角形BGFをｙ軸について回転した時にできる図形（円錐）の

　　　　　　　　　　　　　　　相似比は２：１よって体積比は８：１

　　　　　　　　　　　　　　　これより

　　　　　　　　　　　　　　　求める体積は、

　　　　　　　　　　　　　　　三角形AGEをｙ軸について回転した時にできる図形（円錐）の体積に

　　　　　　　　　　　　　　　８分の７かけたもの。　

 

　【大問４】　規則性　　　　（１）は、普通に数えてもよい。

　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　（２）いろいろな方法があると思いますが、　

　　　　　　　　　　　　　　　　　私は２パターンで考えました。

　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　その１：それぞれの行の右端の数のもう一つ隣の数を考える。

　　　　　　　　　　　　　　　　　例えば、１行目　は　３

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２行目　は　６

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３行目　は　９

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　４行目　は　１２

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　５行目　は　１５　よって　３の倍数

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　→　ｎ行目　は　３ｎ

　　　　　　　　　　　　　　　　求めるものはその１つ手前の数だから、　３ｎ－１

 

　　　　　　　　　　　　　その２：それぞれの左端の数に注目すると、２の倍数だから、　

　　　　　　　　　　　　　　　　　ｎ行目の左端の数は　２ｎ

　　　　　　　　　　　　　　　　　右端の数は、

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１行目では　０　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２行目では　１

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３行目では　２

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　４行目では　３

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　５行目では　４　加えたものだから・・・

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｎ行目では　ｎ－１　加えた数となる。

 

　　　　　　　　　　　　　　　　　　よって　２ｎ　+　（ｎ－１）　＝　３ｎ－１　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（答え）３ｎ－１

 

　　　　　　　　　　　　　　　（３）　（２）より右端の数は　３ｎ－１　となるから

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 　　　　　　　　　　　　　　　３ｎ－１＝３１　を解いて　ｎ＝１０余り１

　　　　　　　　　　　　　　　　ｎ＝１０の場合　右端の数は２９となり　３１は１回も出現しない。

　　　　　　　　　　　　　　　　ｎ＝１１の場合　右端の数は３２となり　３１が初めて出現する。

　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　次に右端で　３１よりも大きい数が出現する行を求める。

　　　　　　　　　　　　　　　２ｎ＝３１　より　ｎ＝１５あまり１

　　　　　　　　　　　　　　　ｎ＝１５のとき、　右端の数は３０

　　　　　　　　　　　　　　　ｎ＝１６のとき、　右端の数は３２

 

　　　　　　　　　　　　　　　これより３１が出現するのは　ｎ＝１５までであることがわかる。

　　　　　　　　　　　　　　　よって、ｎ＝１１、１２、１３、１４、１５であれば３１が出現する。

 

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（答え）５個　　　　　　　→　差が出る問題 

 

　【大問５】　図形と体積　　→　全体的に差が出る問題 

 　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　立方体を傾けたとき、AE=DH,BF=CGより　底面は合同な台形となる。

　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　（１）は水の体積を２通りで表す（傾ける前と後で）

　　　　　　　　　　　　　　　　　台形の面積の求め方を知らないと苦しい。

　　　　　　　　　　　　　　（２）は（１）で求めたFBの長さを使い、EFを三平方の定理より求める

　　　　　　　　　　　　　　（３）は　残った水の体積　＋　鉄球の体積　＝　立方体の体積

　　　　　　　　　　　　　　　　　　に気付くかどうか。

 

　　　　　　　　　　　　　　（１）立方体を傾ける前の水の体積

　　　　　　　　　　　　　　　　　底面積（正方形）　×　高さ　×　２/３　より

　　　　　　　　　　　　　　　　　６×６×６×２/３・・・①

　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　立方体を傾けた後の水の体積

　　　　　　　　　　　　　　　　　底面積（台形）　×　高さ

　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　求めるBFの長さを　X　とすると、

　　　　　　　　　　　　　　　　　（X＋５）×６÷２×６・・・②

　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　ここで②と①が等しいので、

　　　　　　　　　　　　　　　　　（X＋５）×６÷２×６＝６×６×６×２/３　

　　　　　　　　　　　　　　　　　等式の性質を利用しながら解いていくと。。。

　　　　　　　　　　　　　　　　　（X＋５）÷２＝６×２/３

　　　　　　　　　　　　　　　　　（X＋５）÷２＝４

 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　     X＋５＝８

 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  　X＝３          （答え）3cm

 

　　　　　　　　　　　　　　（２）長方形EFGHの面積は、たて　×　よこ　より、

　　　　　　　　　　　　　　　　　辺FGの長さ  ×　辺EFの長さ

　　　　　　　　　　　　　　　　　辺FG の長さ＝辺BCの長さ＝６ｃｍ

　　　　　　　　　　　　　　　　　あとは、辺EFの長さがわかればよい。

　　　　　　　　　　　　　　　　　（１）より辺BFの長さは３ｃｍ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　辺AEにおいて頂点Aより３ｃｍの点をIとする。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　三角形EIFは∠I=９０°の直角三角形。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　辺EFの長さ＝ｙ　ｃｍとすると、

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　三平方の定理より、

 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｙ²＝（辺EIの長さ）²　＋（辺IFの長さ）²　だから

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ｙ²＝  2²　＋　６²　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ｙ  = 2√１０

　　　　　　　　　　　　　　　　　長方形EFGHの面積＝　６×２√１０＝１２√１０　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（答え）１２√１０　cm

 

　　　　　　　　　　　　　（３）　残った水の体積　＋　鉄球の体積　＝　立方体の体積

　　　　　　　　　　　　　　　これより、

　　　　　　　　　　　　　　　　　残った水の体積　＝　立方体の体積　－　鉄球の体積

　　　　　　　　　　　　　　　　　底面ABCDから水面までの高さを　ｚ　ｃｍとすると、

　

　　　　　　　　　　　　　　　　　６×６×ｚ＝６×６×６　－　４/３×Π（パイ）×３×３×３

　　　　　　　　　　　　　　　　　６×６×ｚ＝６×６×６　－　４×Π（パイ）×３×３

　　　　　　　　　　　　　　　両辺を６×６　で割って

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  ｚ＝６－Π（パイ)   　　（答え）（６－Π）ｃｍ

 

　【大問６】　動点　　→　全体的に差が出る問題 

 

　　　　　　　　　　　　　　⊿PQRの面積において、底辺を線分QRとして考える。

                                         その長さが２ｃｍであるから、高さの値が⊿PQRの面積となる。

　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　（１）X＝４のとき、点Pは線分BCの中間にある。

　　　　　　　　　　　　　　　　⊿PQRにおいて、

　　　　　　　　　　　　　　　　底辺の長さは２ｃｍ、高さは７ｃｍとなるので、

　　　　　　　　　　　　　　　　（⊿PQRの面積　ｙ＝底辺　×　高さ　÷　２　より、

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｙ＝　２×７÷２

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　７　　）←念のため　　（答え）７ｃｍ²

 

　　　　　　　　　　　　　（２）AB間の長さは３ｃｍ、よってXの変域は　　０≦X≦３

　　　　　　　　　　　　　　　　BC間の長さは２ｃｍ、よってXの変域は　　３≦X≦５　　

　　　　　　　　　　　　　　　　CD間の長さは５ｃｍ、よってXの変域は　　５≦X≦１０　

　　　　　　　　　　　　　　　　DE間の長さは３ｃｍ、よってXの変域は　１０≦X≦１３

　　　　　　　　　　　　　　　　EF間の長さは１ｃｍ、よってXの変域は　１３≦X≦１４

　　　　　　　　　　　　　　　　FA間の長さは２ｃｍ、よってXの変域は　１４≦X≦１６

　　　　　　　　　　　　　　　※CD間の変域は、

　　　　　　　　　　　　　　　　⊿CEDが、斜辺以外の辺がそれぞれ、３ｃｍ、４ｃｍの

　　　　　　　　　　　　　　　　直角三角形に注目すること。

　　　　　　　　　　　　　　　　三平方の定理を使ってCD間の長さを求めてもよいが、

　　　　　　　　　　　　　　　　直角三角形の基本形の１つである、「３：４：５」を知っていれば、

　　　　　　　　　　　　　　　　斜辺の長さは、すぐにわかる。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（答え）５≦X≦１０

 

　　　　　　　　　　　　　（３）点PがBC間、DE間、FA間では⊿PQRの面積は一定。

　　　　　　　　　　　　　　　（底辺と平行線上を頂点Pが動くため）

　　　　　　　　　　　　　　　　BC間ではｙ＝７・・・・（１）より

　　　　　　　　　　　　　　　　DE間ではｙ＝３・・・・（高さ３ｃｍ）

　　　　　　　　　　　　　　　　FA間ではｙ＝４・・・・（高さ４ｃｍ）

 

　　　　　　　　　　　　　　　　次に、

　　　　　　　　　　　　　　　　AB間ではｙ＝２×（４+X）÷２

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ｙ＝X+４

　　　　　　　　　　　　　　　　一次関数（直線）の式となる。

 

                                               CD間では。。。

　　　　　　　　　　　　　　　　⊿CPGが⊿CDEと相似になる点GをCE上に考える。

　　　　　　　　　　　　　　　　まず、CPの長さは、（X－５）ｃｍ

　　　　　　　　　　　　　　　　CPの長さ：CGの長さ＝５：４より

　　　　　　　　　　　　　　　　（X－５）：CGの長さ＝５：４

　　　　　　　　　　　　　　　　よって、　　４

　　　　　　　　　　　　　　　　CGの長さ＝  ー X　－　４

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　５

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　４

　　　　　　　　　　　　　　　　⊿PQRの高さ＝　７　－　（　ー X　－　４）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　５

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ４

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ －　ー X　＋１１　＝ｙ　（⊿PQRの面積）

                                                                           ５

　　　　　　　　　　　　　　　　一次関数（直線）の式となる。

 

　　　　　　　　　　　　　　　　EF間では、

　　　　　　　　　　　　　　　　⊿PQRの高さ＝４－（X　－　１３）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝－X＋１７＝ｙ　（⊿PQRの面積）

                                              一次関数（直線）の式となる。

 

　　　　　　　　　　　　　　　以上（２）に記載したXの変域に注意してグラフ化（答え省略）

 

 

              　　　　　　　（４）ｙ＝６となるのは、点PがAB間、CD間にあるとき。

 

　　　　　　　　　　　　　　　AB間　ｙ＝X+４

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  ４

　　　　　　　　　　　　　　　CD間　ｙ　＝ －　ー X　＋１１　

                                                                      ５

                                           それぞれの式のｙに６を代入してXを求める。

 

 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（答え）X＝２　、　X＝２５/４（４分の２５）

 

【大問７】　円（証明含む）　　→　全体的に差が出る問題 

　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　（１）で三角形の合同が証明された場合、それ以降の問題は、

　　　　　　　　　　　　　　　合同な図形→対応する辺、角が等しくなることを意識するとよいです。

 

 

　　　　　　　　　　　　（１）　共通の弧と円周角の関係、正三角形の定義を知っていれば、

　　　　　　　　　　　　　　　　それほど難しい証明ではないと思います。

 　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　[証明]　

　　　　　　　　　　　　　　　　⊿ABEと⊿ACD　において

　　　　　　　　　　　　　　　　　BE = CD （仮定）・・・①

　　　　　　　　　　　　　　　　　AB = AC  (正三角形のすべての辺は等しい）・・・②

　　　　　　　　　　　　　　　　∠ABE＝∠ACD(共通の弧ADの円周角は等しい）・・・③

　　　　　　　　　　　　　①②③より

　　　　　　　　　　　　　　　　２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので

　　　　　　　　　　　　　　　　⊿ABE≡⊿ACD　

　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　（２）

　　　　　　　　　　　　　　①　弧ABの円周角より∠ACB＝∠AFB＝∠ADE=６０°

　　　　　　　　　　　　　　　　（１）よりAD=AE=2ｃｍ　となり、

　　　　　　　　　　　　　　　⊿AEDは底角が６０°の二等辺三角形（→⊿AEDは正三角形）である。

　　　　　　　　　　　　　　　∠ADE＝∠AED＝∠BEF=６０°（二等辺三角形の底角および対頂角）

　　　　　　　　　　　　　　　これより⊿BEFにおいて２つの内角がそれぞれ６０°となるので、

　　　　　　　　　　　　　　　残りの内角も６０°となる。よって⊿BEFは正三角形となる。

　　　　　　　　　　　　　　　（１）よりCD=BE＝４ｃｍだから

　　　　　　　　　　　　　　　　　　この正三角形の高さXとすると、

　　　　　　　　　　　　　　　　　　三平方の定理より

　　　　　　　　　　　　　　　　　　４：X＝２：√３　これより高さX＝２√３

　　　　　　　　　　　　　　　よって⊿BFEの面積＝４×２√３÷２＝４√３　　（答え）４√３ｃｍ²

　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　（３）弧BCの円周角より∠BAC＝∠BDC＝６０°

　　　　　　　　　　　　　　よって∠ADC＝１２０°

　　　　　　　　　　　　　　ここで線分ADをDの方向に延長した直線に頂点Cから垂線を下ろし、

　　　　　　　　　　　　　　その交点をGとすると、

　　　　　　　　　　　　　　直角三角形AGCができる。

　　　　　　　　　　　　　　∠ADC＝１２０°だから∠CDG＝６０°

　　　　　　　　　　　　　　三平方の定理よりCD:DG:GC＝２：１：√３となるので、

　　　　　　　　　　　　　　DG=２ｃｍ、GC=２√３ｃｍ

　　　　　　　　　　　　　　次に直角三角形ACGにおいて、三平方の定理より

　　　　　　　　　　　　　　（ACの長さ）²＝（AGの長さ）²　+（GCの長さ）²だから

　　　　　　　　　　　　　　　

 　　　　　　　　　　　　　　（ACの長さ）²　＝　４²　+　（２√３）²

　　　　　　　　　　　　　　　ACの長さ　＝　２√７（ｃｍ）

　　　　　　　　　　　　　　　⊿ABCは正三角形だからAC=BC=２√７

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（答え）２√７ｃｍ

 

----------------------------------------------------------------------------------------------------

 

　いくつか解答してみましたが、もっと簡単な方法があるかもしれません。それを考えるのも数学の

　醍醐味の一つです。