平成３０年　数学　入試問題　解説その他

 

「数学」・・・試験時間５０分で、全部しっかり考えて解ききれるかは？？？です。

　　　　　　　問題としては、いずれも良問であると感じました。

　　　　　　　画像の通り、一度、解いてみました。

　　　　　　　

　【大問１】　基本問題　　　（８）の作図は、２辺から等しい距離　　⇔　角の二等分線

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　その線分への最短距離　⇔　垂線　　

　

　【大問２】　一次方程式　　①長机を　x　にする方は簡単ですが、

　　　　　　　　　　　　　　②立体作品の個数を　x　にして考える方は、　差が出る問題

　　　　　　　　　　　　　　③長机、立体作品の数は、②が分からなくても①で解けるはず・・・。

　

　【大問３】　確率　　　　　①②は基本問題　

　　　　　　　　　　　　　　③は根号がはずれる数を考える　→　２桁の数　→　サイコロは１～６

　　　　　　　　　　　　　　　よって、√１１<　√〇　<　√６６を満たす　数〇で、

　　　　　　　　　　　　　　　√　が外れる数（平方数）を考える　

　　　　　　　　　　　　　　　「１６」「２５」「３６」「４９」「６４」の５つ・・・

　　　　　　　　　　　　　　※ただし、サイコロとは１～６までの出目しかないわけだから・・・

　　　　　　　　　　　　　　　「４９」は　ダメ！！

　　　　　　　　　　　　　　　つまり　４パターンしかない・・・。

　　　　　　　　　　　　　　　ここで間違えることが多いかもしれません。→　差が出る問題

　

　【大問４】　放物線　　　　①変域（基本問題）・・・・最小値０に注意するだけ

　　　　　　　　　　　　　　②直線ACの式・・・・ひし形の性質

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　「対角線はそれぞれの中点で垂直に交わる」より、

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　点Cの座標は（０,９）とわかる。

                                                                 　 あとは普通に計算。

　　　　　　　　　　　　　　③まずｙ軸で面積が半分になる。

　　　　　　　　　　　　　　　あとは三角形AOCの面積を半分にするには。。。を考える

　　　　　　　　　　　　　　　AC∦（平行）OBより　AC上の中点が求める点D。

　　　　　　　　　　　　　　（⊿OAD=⊿OCD（底辺が等しく、高さが同じ）となる）

　　　　　　　　　　　　　　　あとは、x＝－２分の３を②で求めた直線の式に代入　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　→　差が出る問題

 

   【大問５】　空間図形（正方形の性質・三平方の定理・相似・三角錐の体積）

 

　　　　　　　　　　　　　　①三平方の定理

　　　　　　　　　　　　　　②相似な三角形を見つける　→　やや差が出る問題

　　　　　　　　　　　　　　③底面△BPQ×高さBF÷３

　　　　　　　　　　　　　　　△BPQの面積は底辺PQ（②で求めてある）×高さ÷２

　　　　　　　　　　　　　　　　高さは正方形EFGHの２本の対角線の交点とそれぞれの頂点（どれ

　　　　　　　　　　　　　　　　でも同じ）との距離と同じになるから２√２

　　　　　　　　　　　　　　　　高さは２

　　　　　　　　　　　　　　　　あとは計算・・・・・・・・→　差が出る問題

 

　【大問６】　規則性　　①　これは実際に数えてもOK　基本問題

　　　　　　　　　　　　②　模様の番号が偶数（２ｎ）の時、黒は平方数（ｎの２乗）、その差は

　　　　　　　　　　　　　　n　に気が付けば・・・　　　　→　やや差が出る問題

　　　　　　　　　　　　③　黒白それぞれ２００枚ずつ・・・

　　　　　　　　　　　　　　黒を　（nの２乗）枚とすると白との差は　n だから

　　　　　　　　　　　　　　白は　（nの２乗）－　ｎ　枚

　　　　　　　　　　　　　　ここで、２００以下の最大の平方数は１９６だから

　　　　　　　　　　　　　　（nの２乗）＝１９６・・・黒の枚数

　　　　　　　　　　　　　　　これを解くと　ｎ＝１４　よって　白は１９６－１４＝１８２

 

 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　→　差が出る問題

　【大問７】　一次関数の利用　　①　「み・は・じ」を使って計算する

　　　　　　　　　　　　　　　　②　①で求めた答えより、弟が出発した点（16,1600）と

　　　　　　　　　　　　　　　　　　目的地Pについた点（ 36 , 0 ) より算出

　　　　　　　　　　　　　　　　③　弟（②で求めた式）の直線の式と、問題に該当する兄の

　　　　　　　　　　　　　　　　　　直線の式（これは②のように求める）の連立方程式を解く

　　　　　　　　　　　　　　　　　　数字が大きいので計算力が必要　→　やや差が出る問題

　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　

　【大問８】　円（円周角その他）①　証明　ポイント　・半径で等しい

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・対頂角で等しい　はすぐわかる・・・

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・円の直径（半径）⊥　接線

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　これが思い出せるかどうか・・・

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　→　やや差が出る問題

　　　　　　　　　　　　　　　　②線分CDを求める。

　　　　　　　　　　　　　　　　　弧AD:弧DB=１：３より　この長さと中心角は比例するので、

　　　　　　　　　　　　　　　　　∠AOD=４５度　∠DOB=１３５度　

　　　　　　　　　　　　　　　　　よって　∠DOF=∠DFO＝４５度

　　　　　　　　　　　　　　　　　２つの角が等しいので、⊿DOFはDO=DFの直角二等辺三角形

　　　　　　　　　　　　　　　　　DO＝６ｃｍより、DF＝６ｃｍ

　　　　　　　　　　　　　　　　　１：１：√２　より　OF=６√２

　　　　　　　　　　　　　　　　　ここからは２パターン（ア・イ）で

　　　　　　　　　　　　　　　ア　⊿FOCは∠FOC=∠FCOの二等辺三角形となる（説明略）

　　　　　　　　　　　　　　　　　よって、OF=CF＝６√２　CD=CF－DF=６√２－６

　　　　　　　　　　　　　　　イ　⊿FOCの面積は　求める線分CDをxとすると、

　　　　　　　　　　　　　　　　　底辺FC×高さOD÷２　あるいは底辺OF×高さOA÷２

　　　　　　　　　　　　　　　　　よって、どちらも⊿FOCの面積だから、

　　　　　　　　　　　　　　　　　底辺FC×高さOD÷２＝底辺OF×高さOA÷２

　　　　　　　　　　　　　　　　（ x+６）＝　６√２　（OD=OA,また両辺　÷２共通だから

　　　　　　　　　　　　　　　　　x＝６√２－６　　　底辺FC=底辺OF→二等辺三角形なんですね）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　→　差が出る問題

 

　　　　　　　　　　　　　　　③BDとOFの交点をGとすると

　　　　　　　　　　　　　　　　四角形OEBD=⊿OEB+⊿BOG+⊿GOD

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　⊿OEB＝⊿BOG（⊿BODが二等辺三角形その他より）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝⊿OCA＝⊿COD

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　よって⊿OEB+⊿BOG＝⊿COD×２

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝６×（６√２－６）÷２　×２

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝３６√２－３６

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　⊿GODについてOG=CDまた、その高さは

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　二等辺三角形ODFの頂点Dから底辺OFへの垂線の長さ。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　よって高さは３√２

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　⊿GOD＝（６√２－６）×３√２÷２

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝１８－９√２

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　四角形OEBD＝（３６√２－３６）+（１８－９√２）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝２７√２－１８　→　差が出る問題

 

　いくつか解答してみましたが、もっと簡単な方法があるかもしれません。それを考えるのも数学の

　面白い点です。