平成31年度 数学 入試問題 解説その他

スマホでは文字がずれる可能性があります。

PCで見ていただければと思います。

※誤字などある可能性があります。ご容赦ください。

 

「数学」・・・試験時間50分で、全部しっかり考えて解ききれるかは、昨年に引き続き???です。

       いかに時短計算方法で解法できるかがカギかもしれません。

       [大問6]は、私が初めて見る動点の問題でした。

       全体的にはいずれも良問であると感じました。

      ※予想平均点は45~55点(100点満点換算で)

      

        ⇒ 61.3点 (県立学校課発表)   

      

 【大問1】 基本問題  いずれも教科書の基本問題レベルの問題

             ここで時間をかけずにミスなく、解いていくかが大切。

             (9)角の大きさを求める問題

              ・正五角形の1つの内角の大きさ180×(5-2)÷5=108

              ・⊿ABC≡⊿AED(3組の辺がそれぞれ等しい)より∠BAC=∠EAD

              ・⊿ABC、⊿AEDともに二等辺三角形(底角が等しい)

               を考えて解く

 

 【大問2】 連立方程式・代表値

             

            (1)連立方程式の応用問題(教科書レベル)

 

             %(パーセント)の計算方法を知っていれば、式は簡単。

             あとは計算力のみ。

 

            (2)代表値

 

             表から、3パターンの考え方の正誤を問う問題。

             中央値、最頻値、最大値、最小値それぞれについてしっかり理解している

             ことが大前提である問題

 

             ア は普通の平均を求めればよいので簡単  ○

             イ は17人ではなく18人 よって ×

             ウ は3組のクラスの人数が36人、最大値が5、最小値が1より

               貸出数は1、2、3、4、5が考えられる。

               36÷5=7余り1

              最頻値が2であることから

              この度数が7であると、他で8になる可能性があり(最頻値にならない)

              よって冊数2で、考えられる最低人数となる。よって8人以上となり

              ○

   

             ※ゆっくり考えると難しくはないが、時間をかけれないため焦ると手こずる

               問題。→ 差が出る問題

 

 【大問3】 放物線  (1)(2)は標準、(3)は計算力(できれば時短計算で)

               

            (1) y=aX²で、Xが bからcまで増加するとき

                変化の割合=a(b+C)の時短計算ができると楽。

                知らない場合は、Xの増加量、Yの増加量を求めて、

                Yの増加量 ÷ Xの増加量 に代入して計算。

            

            (2)直線CDを求める。

               点C,点Dそれぞれの座標を求め、直線CDの式を求める。

               y軸との交点より、直線CDの式に、X=0を代入。

 

            (3)放物線の対称性(y軸についての)より、直線CD,直線ABの切片は

               同じ(0,-2)この切片をGとすると、

               四角形ABFEをy軸について回転した時にできる図形の体積は、

               三角形AGEをy軸について回転した時にできる図形(円錐)の体積

               から三角形BGFをy軸について回転した時にできる図形(円錐)の体積

               引いたものとなる。それぞれを求めて計算。→ やや差が出る問題

 

               別解(時短計算)

               点Eのy座標が4、点Fのy座標が1、Gのy座標が-2より

               三角形AGEをy軸について回転した時にできる図形(円錐)と

               から三角形BGFをy軸について回転した時にできる図形(円錐)の

               相似比は2:1よって体積比は8:1

               これより

               求める体積は、

               三角形AGEをy軸について回転した時にできる図形(円錐)の体積に

               8分の7かけたもの。 

 

 【大問4】 規則性    (1)は、普通に数えてもよい。

               

              (2)いろいろな方法があると思いますが、 

                 私は2パターンで考えました。

             

             その1:それぞれの行の右端の数のもう一つ隣の数を考える。

                 例えば、1行目 は 3

                     2行目 は 6

                     3行目 は 9

                     4行目 は 12

                     5行目 は 15 よって 3の倍数

                   → n行目 は 3n

                求めるものはその1つ手前の数だから、 3n-1

 

             その2:それぞれの左端の数に注目すると、2の倍数だから、 

                 n行目の左端の数は 2n

                 右端の数は、

                     1行目では 0 

                     2行目では 1

                     3行目では 2

                     4行目では 3

                     5行目では 4 加えたものだから・・・

                     n行目では n-1 加えた数となる。

 

                  よって 2n + (n-1) = 3n-1 

                                  (答え)3n-1

 

               (3) (2)より右端の数は 3n-1 となるから

                          

                3n-1=31 を解いて n=10余り1

                n=10の場合 右端の数は29となり 31は1回も出現しない。

                n=11の場合 右端の数は32となり 31が初めて出現する。

               

               次に右端で 31よりも大きい数が出現する行を求める。

               2n=31 より n=15あまり1

               n=15のとき、 右端の数は30

               n=16のとき、 右端の数は32

 

               これより31が出現するのは n=15までであることがわかる。

               よって、n=11、12、13、14、15であれば31が出現する。

 

                     (答え)5個        差が出る問題 

 

 【大問5】 図形と体積  → 全体的に差が出る問題 

               

              立方体を傾けたとき、AE=DH,BF=CGより 底面は合同な台形となる。

              

              (1)は水の体積を2通りで表す(傾ける前と後で)

                 台形の面積の求め方を知らないと苦しい。

              (2)は(1)で求めたFBの長さを使い、EFを三平方の定理より求める

              (3)は 残った水の体積 + 鉄球の体積 = 立方体の体積

                  に気付くかどうか。

 

              (1)立方体を傾ける前の水の体積

                 底面積(正方形) × 高さ × 2/3 より

                 6×6×6×2/3・・・①

                 

                 立方体を傾けた後の水の体積

                 底面積(台形) × 高さ

      

                 求めるBFの長さを X とすると、

                 (X+5)×6÷2×6・・・②

                 

                 ここで②と①が等しいので、

                 (X+5)×6÷2×6=6×6×6×2/3 

                 等式の性質を利用しながら解いていくと。。。

                 (X+5)÷2=6×2/3

                 (X+5)÷2=4

                         X+5=8

                         X=3          (答え)3cm

 

              (2)長方形EFGHの面積は、たて × よこ より、

                 辺FGの長さ  × 辺EFの長さ

                 辺FG の長さ=辺BCの長さ=6cm

                 あとは、辺EFの長さがわかればよい。

                 (1)より辺BFの長さは3cm

                    辺AEにおいて頂点Aより3cmの点をIとする。

                    三角形EIFは∠I=90°の直角三角形。

                    辺EFの長さ=y cmとすると、

                    三平方の定理より、

                     y²=(辺EIの長さ)² +(辺IFの長さ)² だから

                     y²=  2² + 6² 

                     y  = 2√10

                 長方形EFGHの面積= 6×2√10=12√10 

                               

                                (答え)12√10 cm

 

             (3) 残った水の体積 + 鉄球の体積 = 立方体の体積

               これより、

                 残った水の体積 = 立方体の体積 - 鉄球の体積

                 底面ABCDから水面までの高さを z cmとすると、

 

                 6×6×z=6×6×6 - 4/3×Π(パイ)×3×3×3

                 6×6×z=6×6×6 - 4×Π(パイ)×3×3

               両辺を6×6 で割って

                      z=6-Π(パイ)     (答え)(6-Π)cm

 

 【大問6】 動点  → 全体的に差が出る問題 

 

              ⊿PQRの面積において、底辺を線分QRとして考える。

                                         その長さが2cmであるから、高さの値が⊿PQRの面積となる。

           

             (1)X=4のとき、点Pは線分BCの中間にある。

                ⊿PQRにおいて、

                底辺の長さは2cm、高さは7cmとなるので、

                (⊿PQRの面積 y=底辺 × 高さ ÷ 2 より、

                        y= 2×7÷2

                         = 7  )←念のため  (答え)7cm²

 

             (2)AB間の長さは3cm、よってXの変域は  0≦X≦3

                BC間の長さは2cm、よってXの変域は  3≦X≦5  

                CD間の長さは5cm、よってXの変域は  5≦X≦10 

                DE間の長さは3cm、よってXの変域は 10≦X≦13

                EF間の長さは1cm、よってXの変域は 13≦X≦14

                FA間の長さは2cm、よってXの変域は 14≦X≦16

               ※CD間の変域は、

                ⊿CEDが、斜辺以外の辺がそれぞれ、3cm、4cmの

                直角三角形に注目すること。

                三平方の定理を使ってCD間の長さを求めてもよいが、

                直角三角形の基本形の1つである、「3:4:5」を知っていれば、

                斜辺の長さは、すぐにわかる。

                               (答え)5≦X≦10

 

             (3)点PがBC間、DE間、FA間では⊿PQRの面積は一定。

               (底辺と平行線上を頂点Pが動くため)

                BC間ではy=7・・・・(1)より

                DE間ではy=3・・・・(高さ3cm)

                FA間ではy=4・・・・(高さ4cm)

 

                次に、

                AB間ではy=2×(4+X)÷2

                     y=X+4

                一次関数(直線)の式となる。

 

                                               CD間では。。。

                ⊿CPGが⊿CDEと相似になる点GをCE上に考える。

                まず、CPの長さは、(X-5)cm

                CPの長さ:CGの長さ=5:4より

                (X-5):CGの長さ=5:4

                よって、  4

                CGの長さ=  ー X - 4

                      5

                              4

                ⊿PQRの高さ= 7 - ( ー X - 4)

                              5

                          4

                      = - ー X +11 =y (⊿PQRの面積)

                                                                           5

                一次関数(直線)の式となる。

 

                EF間では、

                ⊿PQRの高さ=4-(X - 13)

                      =-X+17=y (⊿PQRの面積)

                                              一次関数(直線)の式となる。

 

               以上(2)に記載したXの変域に注意してグラフ化(答え省略)

 

 

                     (4)y=6となるのは、点PがAB間、CD間にあるとき。

 

               AB間 y=X+4

                         

               CD間 y = - ー X +11 

                                                                      5

                                           それぞれの式のyに6を代入してXを求める。

 

                       (答え)X=2 、 X=25/4(4分の25)

 

【大問7】 円(証明含む)  → 全体的に差が出る問題 

           

            (1)で三角形の合同が証明された場合、それ以降の問題は、

               合同な図形→対応する辺、角が等しくなることを意識するとよいです。

 

 

            (1) 共通の弧と円周角の関係、正三角形の定義を知っていれば、

                それほど難しい証明ではないと思います。

             

            [証明] 

                ⊿ABEと⊿ACD において

                 BE = CD (仮定)・・・①

                 AB = AC  (正三角形のすべての辺は等しい)・・・②

                ∠ABE=∠ACD(共通の弧ADの円周角は等しい)・・・③

             ①②③より

                2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので

                ⊿ABE≡⊿ACD 

              

            (2)

              ① 弧ABの円周角より∠ACB=∠AFB=∠ADE=60°

                (1)よりAD=AE=2cm となり、

               ⊿AEDは底角が60°の二等辺三角形(→⊿AEDは正三角形)である。

               ∠ADE=∠AED=∠BEF=60°(二等辺三角形の底角および対頂角)

               これより⊿BEFにおいて2つの内角がそれぞれ60°となるので、

               残りの内角も60°となる。よって⊿BEFは正三角形となる。

               (1)よりCD=BE=4cmだから

                  この正三角形の高さXとすると、

                  三平方の定理より

                  4:X=2:√3 これより高さX=2√3

               よって⊿BFEの面積=4×2√3÷2=4√3  (答え)4√3cm²

          

           (3)弧BCの円周角より∠BAC=∠BDC=60°

              よって∠ADC=120°

              ここで線分ADをDの方向に延長した直線に頂点Cから垂線を下ろし

              その交点をGとすると、

              直角三角形AGCができる。

              ∠ADC=120°だから∠CDG=60°

              三平方の定理よりCD:DG:GC=2:1:√3となるので、

              DG=2cm、GC=2√3cm

              次に直角三角形ACGにおいて、三平方の定理より

              (ACの長さ)²=(AGの長さ)² +(GCの長さ)²だから

               

               (ACの長さ)² = 4² + (2√3)²

               ACの長さ = 2√7(cm)

               ⊿ABCは正三角形だからAC=BC=2√7

                                 (答え)2√7cm

 

----------------------------------------------------------------------------------------------------

 

 いくつか解答してみましたが、もっと簡単な方法があるかもしれません。それを考えるのも数学の

 醍醐味の一つです。