平成30年 数学 入試問題 解説その他

 

「数学」・・・試験時間50分で、全部しっかり考えて解ききれるかは???です。

       問題としては、いずれも良問であると感じました。

       画像の通り、一度、解いてみました。

       

 【大問1】 基本問題   (8)の作図は、2辺から等しい距離  ⇔ 角の二等分線

                      その線分への最短距離 ⇔ 垂線  

 

 【大問2】 一次方程式  ①長机を x にする方は簡単ですが、

              ②立体作品の個数を x にして考える方は、 差が出る問題

              ③長机、立体作品の数は、②が分からなくても①で解けるはず・・・。

 

 【大問3】 確率     ①②は基本問題 

              ③は根号がはずれる数を考える → 2桁の数 → サイコロは1~6

               よって、√11< √〇 < √66を満たす 数〇で、

               √ が外れる数(平方数)を考える 

               「16」「25」「36」「49」「64」の5つ・・・

              ※ただし、サイコロとは1~6までの出目しかないわけだから・・・

               「49」は ダメ!!

               つまり 4パターンしかない・・・。

               ここで間違えることが多いかもしれません。→ 差が出る問題

 

 【大問4】 放物線    ①変域(基本問題)・・・・最小値0に注意するだけ

              ②直線ACの式・・・・ひし形の性質

                       「対角線はそれぞれの中点で垂直に交わる」より、

                       点Cの座標は(0,9)とわかる。

                                                                   あとは普通に計算。

              ③まずy軸で面積が半分になる。

               あとは三角形AOCの面積を半分にするには。。。を考える

               AC∦(平行)OBより AC上の中点が求める点D。

              (⊿OAD=⊿OCD(底辺が等しく、高さが同じ)となる)

               あとは、x=-2分の3を②で求めた直線の式に代入     

                                  → 差が出る問題

 

   【大問5】 空間図形(正方形の性質・三平方の定理・相似・三角錐の体積)

 

              ①三平方の定理

              ②相似な三角形を見つける → やや差が出る問題

              ③底面△BPQ×高さBF÷3

               △BPQの面積は底辺PQ(②で求めてある)×高さ÷2

                高さは正方形EFGHの2本の対角線の交点とそれぞれの頂点(どれ

                でも同じ)との距離と同じになるから2√2

                高さは2

                あとは計算・・・・・・・・→ 差が出る問題

 

 【大問】 規則性  ① これは実際に数えてもOK 基本問題

            ② 模様の番号が偶数(2n)の時、黒は平方数(nの2乗)、その差は

              n に気が付けば・・・    → やや差が出る問題

            ③ 黒白それぞれ200枚ずつ・・・

              黒を (nの2乗)枚とすると白との差は n だから

              白は (nの2乗)- n 枚

              ここで、200以下の最大の平方数は196だから

              nの2乗)=196・・・黒の枚数

               これを解くと n=14 よって 白は196-14=182

 

                              → 差が出る問題

 【大問】 一次関数の利用  ① 「み・は・じ」を使って計算する

                ② ①で求めた答えより、弟が出発した点(16,1600)と

                  目的地Pについた点( 36 , 0 ) より算出

                ③ 弟(②で求めた式)の直線の式と、問題に該当する兄の

                  直線の式(これは②のように求める)の連立方程式を解く

                  数字が大きいので計算力が必要 → やや差が出る問題

                 

      

 【大問】 円(円周角その他)① 証明 ポイント ・半径で等しい

                          ・対頂角で等しい はすぐわかる・・・

                          ・円の直径(半径)⊥ 接線

                           これが思い出せるかどうか・・・

                           → やや差が出る問題

                ②線分CDを求める。

                 弧AD:弧DB=1:3より この長さと中心角は比例するので、

                 ∠AOD=45度 ∠DOB=135度 

                 よって ∠DOF=∠DFO=45度

                 2つの角が等しいので、⊿DOFはDO=DFの直角二等辺三角形

                 DO=6cmより、DF=6cm

                 1:1:√2 より OF=6√2

                 ここからは2パターン(ア・イ)で

               ア ⊿FOCは∠FOC=∠FCOの二等辺三角形となる(説明略)

                 よって、OF=CF=6√2 CD=CF-DF=6√2-6

               イ ⊿FOCの面積は 求める線分CDをxとすると、

                 底辺FC×高さOD÷2 あるいは底辺OF×高さOA÷2

                 よって、どちらも⊿FOCの面積だから、

                 底辺FC×高さOD÷2=底辺OF×高さOA÷2

                ( x+6)= 6√2 (OD=OA,また両辺 ÷2共通だから

                 x=6√2-6   底辺FC=底辺OF→二等辺三角形なんですね)

                                  → 差が出る問題

 

               ③BDとOFの交点をGとすると

                四角形OEBD=⊿OEB+⊿BOG+⊿GOD

                       ⊿OEB=⊿BOG(⊿BODが二等辺三角形その他より)

                       =⊿OCA=⊿COD

                    よって⊿OEB+⊿BOG=⊿COD×2

                              =6×(6√2-6)÷2 ×2

                              =36√2-36

                    ⊿GODについてOG=CDまた、その高さは

                    二等辺三角形ODFの頂点Dから底辺OFへの垂線の長さ。

                    よって高さは3√2

                    ⊿GOD=(6√2-6)×3√2÷2

                       =18-9√2

                    四角形OEBD=(36√2-36)+(18-9√2)

                          =27√2-18 → 差が出る問題

 

 いくつか解答してみましたが、もっと簡単な方法があるかもしれません。それを考えるのも数学の

 面白い点です。